このツールについて
定積分計算機は、曲線下の符号付き面積、すなわち f(x) の下限 a から上限 b までの定積分を計算する無料のブラウザ内微積分ツールです。合成シンプソン則という高精度な数値手法を用い、部分区間の対に放物線を当てはめます。h = (b − a)/n として (h/3)·[f(x₀) + f(xₙ) + 4·Σf(奇数) + 2·Σf(偶数)] を評価します。分割数 n（既定は 1000、偶数に保たれます）は精度を上げるために調整できます。
すべての計算はブラウザ内でローカルに行われるため、入力した内容がどこかに送信されることはありません。被積分関数は +, −, *, / と ^、括弧、定数 pi と e、および sin, cos, exp, ln, sqrt のような関数で入力できます。積分区間は素の数値や pi や 2*e のような小さな式を受け付け、広義積分には inf や -inf を入力できます。これはツールが大きな有限の値で打ち切って近似であることを記して処理します。
被積分関数が多項式（c·xᵏ のような項の和）の場合、計算機は厳密な記号的原始関数 F(x) も導き、微積分学の基本定理により数値解を F(b) − F(a) と照合します。たとえば x² の 0 から 1 までの積分はちょうど 1/3 ≈ 0.3333333 で、シンプソン推定値と原始関数 x³/3 の両方に一致します。
よくある質問
どの手法を使いますか？
偶数個の部分区間 n を用いる合成シンプソン則です。n+1 個の等間隔な点で f を標本化し、1, 4, 2, 4, …, 4, 1 の重みを付けることで四次精度を得ます。これは同じ点数での基本的なリーマン和よりはるかに優れています。
無限大への広義積分はできますか？
部分的に可能です。積分区間に inf や -inf を入力すると、ツールは領域を大きな有限の値で打ち切り、結果を近似として示します。e^(-x) のように急速に減衰する被積分関数にはよく機能しますが、ゆっくり減衰するものでは不正確になることがあります。
厳密な答えを出しますか？
多項式の被積分関数については記号的原始関数を導き、数値推定値とともに厳密値 F(b) − F(a) を報告します。それ以外の関数については、閉形式の原始関数が存在しないことがあるため、高精度のシンプソン推定値のみが示されます。
x² の 0 から 1 までの積分は？
ちょうど 1/3 ≈ 0.3333333 です。原始関数は x³/3 なので F(1) − F(0) = 1/3 − 0 = 1/3 となり、計算機が返すシンプソン則の値と一致します。